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 Zahlensysteme

 

 Pfad: Stellenwertsysteme

Stellenwertsyteme

Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem genannt) ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen große Zahlen darstellen kann. Wie die Bezeichnung schon vermuten lässt, wird der Wert einer Zahl nicht mehr einfach durch Aufsummieren der einzelnen Symbolwerte gebildet, sondern hängt zusätzlich von den Positionen des jeweiligen Symbols ab. Der Name der meisten Stellenwertsysteme ist auf die sogenannte Basis des Systems zurückzuführen. Das uns bekannteste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem. Die Bezeichnung stammt von dem lateinischen Begriff "decimus" ab, was soviel bedeutet wie "der Zehnte". Die Basis im Dezimalsystem ist demnach die 10.

Aha, die Basis ist die 10 - aber was genau ist denn eigentlich die Basis?
Simpel ausgedrückt, ist die Basis die Anzahl der Symbole (Ziffern), die man benötigt, um alle Zahlen in diesem System bilden zu können, also im Falle des Dezimalsystems die Symbole 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Und wie bestimme ich nun den Wert einer Zahl eines Stellenwertsystems?
Wir wissen, dass die Zahl "1234" den Wert 1234 hat - aber wie errechnet sich dieser? Wie es die meisten vermutlich kennen, ist das Dezimalsystem in verschiedene Stellen eingeteilt. Für die Zahl 1234 wären das:

Tausender Hunderter Zehner Einer  
1 2 3 4  
1 * 1000 2 * 100 3 * 10 4 * 1 = 1000 + 200 + 300 + 4 = 1234

Das ist das gleiche wie:
1 * (10*10*10) 2*(10*10) 3*(10) 4*(1) = 1234

Oder nach den Regeln der Potenzrechnung ausgedrückt:
1*103 2*102 3*101 4*100  

Nachkommastellen werden genauso gehandhabt, wie Stellen vor dem Komma, nur dass die Positionsnummern von der Position 0 an negativ absteigen. Betrachten wir hierzu die Zahl 1,234.

Position 0
 
Position -1
Position -2
Position -3
 
1
,
2
3
4
1*100
 
2*10-1
3*10-2
4*10-3
1
 
1*0,1
3*0,01
4*0,001
1
0,2
0,03
0,04
= 1 + 0,2 + 0,03 + 0,004 = 1,234

Und wenn wir das allgemeiner festhalten wollen, hieße das, ein Symbol an der Position x einer Zahl hat den Wert:

Symbolwert * Basis Position    (Wobei die Position von rechts, beginnend mit der Null, gezählt wird)

Um etwas Übung zu bekommen, versuchen wir es diesmal mit der Zahl 11 in einem Stellenwertsystem mit der Basis 2.

Position 1
Position 0
1
1
1*21
1*20
1*2
1*1

Also hat die Zahl 11 in diesem System den (dezimalen) Wert : 2 + 1 = 3 - wie wir schon in der Einleitung zu Zahlensystemen angesprochen haben.

Und warum benutzt man so einen komplizierten Blödsinn, Additionssysteme sind doch viel einfacher?
Auf den ersten Blick stimmt das zwar, aber im Vergleich zu Additionssystemen bieten Stellenwertsysteme viele Vorteile, gerade wenn es um Rechenarten oder die Darstellung großer Symbole geht. Außerdem kann man über Kommazahlen auch noch unendliche viele Zahlen darstellen die zwischen zwei ganzen Zahlen liegen (also z.B. die Zahl 1,5 zwischen 1 und 2).

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