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 Zahlensysteme

 

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Zahlensysteme

Kann man das Essen? Was ist das, und wozu brauch ich das?

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Gut, das dachtest du dir vermutlich schon. Zahlen sind für uns so wichtig, weil sie einen Wert ausdrücken. In einem konkreten Beispiel heißt das, dass für uns 10 Euro doppelt so viel Wert sind wie 5 Euro. Aber wer hat eigentlich festgelegt, dass 10 das Doppelte von 5 ist. Wäre es nicht möglich, dass ein 10 Euro Schein nur halb so viel Wert ist wie in 5 Euro Schein?
Oder denk mal an die Uhrzeit - 60 Sekunden entsprechen einer Minute, 60 Minuten einer Stunde, 24 Stunden einem Tag, 7 Tage einer Woche, und 52 Wochen einem Jahr. Das System der Uhrzeit ist zwar im eigentlichen Sinne kein Zahlensystem (wir gehen darauf noch ein), aber anhand dieses Beispieles drängt sich einem die Frage auf, warum denn nicht z.B. 60 Cent das gleiche wie 1 Euro sind.

Ein Zahlensystem legt also fest, welches Symbol welchem Wert zugeordnet ist. Wobei wir für den Begriff Symbol vorerst immer den Begriff Ziffer verwenden können. Vereinfacht heißt das, dass wir, wenn wir das Symbol "2" sehen, davon ausgehen, dass es sich um den Wert 2 handelt. Aaaaahja, tolle Aussage. Nicht mehr ganz so blöd klingt diese Aussage, wenn wir behaupten, dass es Zahlensysteme gibt in dem das Symbol "A" den Wert 10 hat. Noch verrückter wird es, wenn wir versuchen dir weiß zu machen, dass die Zahl "11" in einem Zahlensystem den Wert 3 hat.

Das ist schon das einzige Problem mit unserer Wertvorstellung? Denkst du! Wir wissen jetzt, dass das Symbol "5" den Wert 5 hat, "8" den Wert 8 und "12" den Wert 12 - äh Moment mal. Genau genommen ist die Zahl 12 nichts anderes als die Kombination der beiden Symbole "1" und "2". Angenommen ich schreibe die gleichen Symbole in einer anderen Reihenfolge auf: "21" - daraus ergibt sich für uns der Wert 21. Wir sehen also dass die Position der Symbole eine Aussage über Ihren Wert haben können. Schreiben wir "12" meinen wir den Wert 10+2, schreiben wir hingegen 21, meinen wir den Wert 20+1.
Ein Beispiel dafür, dass dies nicht immer der Fall sein muss, ist ein Zahlensystem in dem die Zahl 15 exakt den gleichen Wert wie die Zahl 51, nämlich die Zahl 6, hat. Hier wird unabhängig von der Position der einzelnen Symbole, einfach ihr Wert addiert. Nämlich 1+5 = 6 sowie 5+1=6.

Die Basis für unsere Wertvorstellungen bildet das Dezimalsystem, in dem wir eigentlich immer Denken und Rechnen. Deshalb klingt die obige Aussage, dass das Symbol "2" den Wert 2 hat auch leicht dämlich. Unsere Wertevorstellungen haben sich über dieses System gebildet, und deshalb rechnen wir beim Umgang mit anderen Zahlensystemen meistens unbewusst in das Dezimalsystem um. Die Darstellung der Symbole und einer Strichliste erkennen wir mühelos als Zahlen mit dem Wert 3 und 6 (aus dem Dezimalsystem). Hier hat also das Symbol "" den Wert 5.

Zusammengefasst haben wir jetzt also erkannt, dass ein Zahlensystem eine Sammlung an Regeln ist, die die Zahlen- und Wertebildung beschreiben. Man unterteilt Zahlensysteme in zwei Gruppen: Die Additionssytem und die Stellenwertsysteme.


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